حل تمرین صفحه 115 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۱۵ - تمرین ۱ سلام به شما دانش‌آموزان عزیز! در این تمرین می‌خواهیم تأثیر تغییر **دامنه** بر روی شکل و نمایش یک تابع را بررسی کنیم. **گام اول: محاسبه برد برای دامنه محدود** وقتی دامنه ما فقط سه عضو $5, 0, rac{1}{2}$ است، کافی است این اعداد را در ضابطه $f(x) = 3x - 1$ جایگذاری کنیم: * اگر $x = 5$ باشد: $f(5) = 3(5) - 1 = 14$ * اگر $x = 0$ باشد: $f(0) = 3(0) - 1 = -1$ * اگر $x = rac{1}{2}$ باشد: $f(rac{1}{2}) = 3(rac{1}{2}) - 1 = rac{3}{2} - 1 = rac{1}{2}$ **گام دوم: نمایش تابع** * **برد تابع ($R_f$):** مجموعه خروجی‌ها یعنی $14, -1, rac{1}{2}$ * **نمایش زوج مرتبی:** $f = (5, 14), (0, -1), (rac{1}{2}, rac{1}{2})$ * **نمودار مختصاتی:** در این حالت نمودار فقط شامل **۳ نقطه مجزا** در صفحه است. **گام سوم: بررسی تابع با دامنه $\mathbb{R}$** اگر دامنه کل اعداد حقیقی باشد: * **نمودار:** دیگر به صورت نقاط پراکنده نیست، بلکه یک **خط راست ممتد** خواهد بود. * **برد:** مجموعه کل اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) خواهد بود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۱۵ - تمرین ۲ بیایید با هم نمودارهای مختلف را تحلیل کنیم تا دامنه (محدوده روی محور $x$) و برد (محدوده روی محور $y$) آن‌ها را پیدا کنیم. **تحلیل نمودار (الف):** * این یک پاره‌خط است که از نقطه $(0, 2)$ تا $(5, 6)$ ادامه دارد. * **دامنه:** بازه $[0, 5]$ * **برد:** بازه $[2, 6]$ * **نمایش جبری:** با محاسبه شیب ($m = rac{6-2}{5-0} = rac{4}{5} = 0.8$) و عرض از مبدأ ($b=2$)، ضابطه برابر است با: $f(x) = 0.8x + 2$. **تحلیل نمودار (ب):** * این نمودار یک نیم‌دایره در قسمت بالای محور $x$ است. * **دامنه:** بازه $[-4, 4]$ * **برد:** بازه $[0, 4]$ **تحلیل نمودار (ج):** * شامل دو بخش خطی است که در نقطه $(0, -1)$ به هم می‌رسند. * **دامنه:** بازه $[-2, 8]$ * **برد:** بازه $[-1, 7]$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۱۵ - تمرین ۳ بیایید این جملات را با تکیه بر مفاهیم پایه توابع بررسی کنیم: * **گزاره (الف): نادرست است**. دامنه پیش‌فرض تابع $x^2 - 1$ کل اعداد حقیقی است، مگر اینکه خود سوال محدودش کند. همچنین برد این تابع به دلیل منهای یک شدن سهمی، بازه $[-1, +nfty)$ است، نه فقط اعداد مثبت. * **گزاره (ب): نادرست است**. اگرچه دامنه صحیح است، اما برد تابع قدرمطلق که $rac{1}{3}$ واحد پایین آمده، بازه $[-rac{1}{3}, +nfty)$ است. خروجی‌ها از منفی یک‌سوم شروع می‌شوند. * **گزاره (پ): درست است**. برای یک تابع ثابت مثل $f(x)=2$، شما می‌توانید هر عدد حقیقی را به عنوان ورودی بدهید، پس دامنه همان $(-nfty, +nfty)$ یا $\mathbb{R}$ است. **نکته علمی:** همیشه به یاد داشته باشید که **برد** پایین‌ترین و بالاترین نقطه‌ای است که نمودار روی محور $y$ لمس می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۱۵ - تمرین ۴ برای نوشتن این تابع، باید تانکر را به اجزای ساده‌تر تقسیم کنیم. این تانکر از یک **استوانه** در وسط و **دو نیم‌کره** (که با هم یک کره کامل می‌سازند) در طرفین تشکیل شده است. **گام ۱: حجم استوانه** فرمول حجم استوانه برابر است با: مساحت قاعده $\times$ ارتفاع. $$V_{cylinder} = \pi r^2 h$$ با توجه به اینکه ارتفاع ($h$) برابر ۳۰ متر است: $V_{cylinder} = 30\pi r^2$. **گام ۲: حجم دو نیم‌کره (یک کره کامل)** فرمول حجم کره با شعاع $r$ برابر است با: $$V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi r^3$$. **گام ۳: نوشتن تابع نهایی حجم تانکر $V(r)$** حجم کل برابر است با مجموع این دو بخش: $$V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 + 30\pi r^2$$ این تابع به ما نشان می‌دهد که با تغییر شعاع تانکر ($r$)، حجم کل به چه میزان تغییر خواهد کرد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۱۵ - تمرین ۵ این تمرین تسلط شما را بر روی **انتقال توابع** به چالش می‌کشد. بیایید چند مورد را با هم بررسی کنیم تا روش کار را یاد بگیرید: * **نمودار (پ) $y = |x|$:** این تابع اصلی قدرمطلق است که رأس آن روی مبدأ $(0,0)$ قرار دارد. دامنه آن $\mathbb{R}$ و برد آن $[0, +nfty)$ است. * **نمودار (الف) $y = x^2 - 3$:** این یک سهمی است که **۳ واحد به پایین** منتقل شده است. دامنه $\mathbb{R}$ و برد آن $[-3, +nfty)$ است. * **نمودار (ث) $y = (x + 1)^2$:** این سهمی **۱ واحد به سمت چپ** جابجا شده است. دامنه $\mathbb{R}$ و برد آن $,0 +nfty)$ است. * **نمودار $ است. **راهنمای کلی:** برای تشخیص، ابتدا به شکل (سهمی یا ۷ شکل) نگاه کنید، سپس جهت باز شدن (بالا یا پایین) و در نهایت میزان جابجایی افقی و عمودی را چک کنید.